Броунiвський рух i реальний свiт, або як математика фiнансiв поєднала досягнення бiологiї, фiзики, економiки та iнших наук

Дуже цікаво проаналізувати, як досягнення самих рiзних наук: суто математики, бiологiї, фiзики, кiбернетики, вплинули на побудову математичної, а точнiше, стохастичної (вiд слова “стохастика”, що означає випадковiсть в самому широкому розумiннi) теорiї фiнансiв, тобто показати, як певна область математики, зокрема, теорiї ймовiрностей, що займається описом та аналiзом стохастичних об’єктiв, сполучається з найрiзноманiтнiшими феноменами, проявами оточуючої реальностi або з технiчними явищами.

Розглянемо ту частину математики, яка є теоретичним пiдґрунтям прикладних застосувань, тобто ту частину математики, яка прагне створити адекватнi моделi iснуючих явищ. При цьому створена модель повинна допускати просте, але гнучке зображення за допомогою тих чи iнших математичних формул. Як тiльки гарну модель створено, далi розвиток iде у двох напрямках: по-перше, сама по собi починає розвиватися теорiя спорiднених та бiльш загальних моделей, i, по-друге, модель починає охоплювати все бiльше i бiльше застосувань, оскiльки приблизно однаковi закономiрностi проявляються i в фiзицi, i в фiнансовiй математицi, i в бiологiї, i в економiцi, i в клiматологiї, i навiть у деяких суспiльних науках. Тому одна i та ж модель або який-небудь її рiзновид може бути застосований в найрiзноманiтнiших областях.

Для чого потрібна статистика

У мене часто запитують, для чого потрібна статистика. Іноді з щирим нерозумінням, іноді з іронічними коментарями на кшталт “є три стадії брехні: просто брехня, нахабна брехня і статистика”. Часто згадують у цьому контексті випадки маніпулювання статистичними даними і спотворення даних, наприклад горезвісний “гребінець Чурова” (попри те, що цей “гребінець” було сфабриковано не статистиками, навпаки, саме праця статистиків-професіоналів уможливила виявлення та доведення фальсифікації). Навіть у науковців часто трапляється ставлення до статистичних методів як до чогось необов’язкового, такого, що нібито покликано підтвердити висновки, які і без цього є очевидними.

Частково це пов’язане з контрінтуїтивністю багатьох статистичних методів для тих, хто не вивчав спеціально статистику, або вивчав у надто обмеженому обсязі. Якщо, наприклад, мета і спосіб визначення середнього значення зазвичай проблем не викликає, то вже фізичний сенс і методику обчислення стандартного відхилення та стандартної похибки пояснити набагато складніше. Чому при обчисленні дисперсії треба ділити суму квадратів відхилень не на N, а на (N 1)? Чому в дослідженні, наприклад, прибутків населення (або, хоча б даних по зарплатні у власній установі) краще застосовувати медіану, ніж середнє? Чому наявність кореляції у загальному випадку не свідчить про причинно-наслідковий зв’язок, і, якщо це справді так, то навіщо ця кореляція взагалі потрібна? Чому некоректно застосовувати критерій Стьюдента до випадкових величин із дискретним варіюванням? І так далі. Нерозуміння теорії, що лежить в основі методів, викликає сумніви у самих методах.

Одним з революційних відкриттів ХХ ст. було усвідомлення того, що випадковість є невід'ємною властивістю явищ фізичного світу та людського суспільства, а не результатом помилок чи нерозуміння. Необхідність аналізу закономірностей, що виявляють себе через випадковість, привела до стрімкого розвитку математичних методів статистичного аналізу даних.

Завдяки роботам видатних статистиків К. Пірсона, Р. Фішера та ін., теоретичною основою статистики стала теорія ймовірностей, яка, в свою чергу, перетворилась на строгу математичну дисципліну у роботах Н. Вінера, А. Колмогорова, А. Хінчина.

Нині алгоритми математичної статистики використовуються в інформаційних технологіях, страховій справі, фінансовому аналізі, медико-біологічних дослідженнях. Без розуміння логіки статистичної аргументації неможливою стала робота юристів та філологів. Статистичні методи застосовуються на промислових виробництвах для управління якістю продукції, у маркетингу - для оцінки перспективних ринків, у психології - для дослідження індивідуального внутрішнього світу людей.

У ХХІ ст. потреби практики відкривають широке поле для роботи фахівців у галузях математичної, комп'ютерної та прикладної статистики. Такі спеціалісти повинні поєднувати глибокі знання математичних основ статистики з умінням збирати, аналізувати та інтерпретувати різноманітні реальні дані. Теоретичними основами статистики є теорія ймовірностей, теорія випадкових процесів та теорія ігор - математичні дисципліни, що займаються побудовою моделей випадкових явищ та дослідженням їх властивостей. Граничні теореми теорії ймовірностей часто допомагають передбачити, як розподіляться досліджувані об'єкти за значенням деякої числової характеристики.

Теоретичними основами статистики є теорія ймовірностей, теорія випадкових процесів та теорія ігор - математичні дисципліни, що займаються побудовою моделей випадкових явищ та дослідженням їх властивостей. Граничні теореми теорії ймовірностей часто допомагають передбачити, як розподіляться досліджувані об'єкти за значенням деякої числової характеристики.

Приклад. Результати виборів мера Москви у 2013р. По горизонталі - відсоток голосів поданих за кандидата на виборчій дільниці, по вертикалі - сума голосів поданих за цього депутата на дільницях з таким відсотком.

Чорними кривими позначено теоретичний розподіл Гаусса

Невідповідність закону Гаусса розподілу голосів на виборах президента Росії 2012р. стала аргументом звинувачення у масових фальсифікаціях результатів голосування.